Teil 24

Auflösung

17. 06. 2345

Teil 23

Auflösung

Im Achter-System (oder auch Oktalsystem)
entspricht der Rechnung 668 × 668 = 446224 im Zehner-System
(bzw. Dezimal-System)

Teil 22

Auflösung

Für beliebigen Durchmesser d gilt:
Das Volumen einer Kugel ist proportional zu d³, also ist das Volumen der großen Kugel achtmal so groß wie das Volumen der kleinen Kugel: Ruprecht benötigt acht kleine Kugeln für eine große Kugel!
Die Oberfläche einer Kugel ist proportional zu d², also ist die Oberfläche der großen Kugel viermal so groß wie die Oberfläche der kleinen Kugel: Ruprecht benötigt die Goldfolien von vier kleinen Kugeln für eine große Goldfolie.    
Der Umfang einer Kugel ist proportional zu d, also ist der Umfang der großen Kugel doppelt so groß wie der Umfang der kleinen Kugel: Ruprecht benötigt die Bändchen von zwei kleinen Kugeln für ein großes Bändchen.

Teil 21

Auflösung

A schafft es pro Stunde 1/48 der Garage leerzupumpen, B entsprechend 1/96 und C 1/192.
Somit muss die Gleichung 1/48 * t + 1/96 * t + 1/192 * t = 1 gelöst werden.
Es ergibt sich: t ist ungefähr 27,43 h bzw. 27 h 25 min 42,86 s
Also nach knapp 27 1/2 h ist die Garage leergepumpt.

Teil 20

Auflösung

Er befindet sich noch 39,90 m vor dem Ziel.
Quentin fährt 3980 m in der gleichen Zeit, in der Paul 4000 m fährt, also ist seine
Geschwindigkeit 3980/4000 = 199/200 der Geschwindigkeit Pauls. Gleiches gilt für Oskar im
 Verhältnis zu Quentin. Somit ist Oskars Geschwindigkeit 199/200 * 199/200 = 39601/40000 der Geschwindigkeit Pauls
und somit schafft er 3960,10 m während Paul 4000 m fährt und befindet sich 39,90 m vor dem Ziel.

Teil 19

Auflösung

28! Die Teiler lauten: 1, 2, 4, 7, 14 und 28 und die Summe -ohne
die 28 selbst- lautet: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28!
(Die nächste ist übrigens erst die 496!)

Teil 18

Auflösung

Die Länge des direkten Wegs beträgt 20 m, sie lässt sich mit einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras berechnen!
Die Katheten haben die Längen (48 m - 36 m =) 12 m und 16 m, somit hat die gesuchte Hypotenuse die Länge (((12 m)² + (16 m)²)^½ =) 20 m!

Teil 17

Auflösung

Es waren genau 18 Münzen.
Neun erhält die älteste Enkelin, sechs die mittlere und drei die jüngste.

Teil 16

Auflösung
Es gibt genau sechs verschiedene Möglichkeiten die drei Briefe in die drei Briefkästen zu werfen, die alle gleichwahrscheinlich sind, da Klaus ja zufällig handelt. Dabei ist in einem Fall alles richtig, in drei Fällen ist genau ein Brief im richtigen Kasten und in zwei Fällen keiner. (Es gibt keine Möglichkeit für genau zwei richtig verteilte Briefe!)
Also ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(3 richtig) = 1/6 = 16,7 %
P(2 richtig) = 0/6 = 0 %
P(1 richtig) = 3/6 = 1/2 = 50 %
P(0 richtig) = 2/6 = 1/3 = 33,3 %

Teil 15

Auflösung
Die zehnte Zahl lautet 121!
Die erste Zahl wird nämlich durch vier geteilt (8:4=2), anschließend wird zwei addiert (2+2=4) und als drittes wird die Zahl quadriert(4²=16). Danach beginnt es wieder von vorn mit dem Teilen durch vier, und so muss am Ende die 11 erneut quadriert werden und so ergibt sich die heutige Lösung 121.

Teil 14

Auflösung
Neun Münzen (1 Cent, 2 * 2 Cent, 5 Cent, 2 * 10 Cent, 20 Cent, 50 Cent und 1 Euro)

Teil 13

Auflösung
Da es innerhalb von 12 Stunden elfmal geschieht, dauert es 12/11 Stunden, das sind ungefähr eine Stunde fünf Minuten und 27 Sekunden.

Teil 12

Auflösung
 Nein, Ingo kann es nicht!

Wenn man das gesamte Spielfeld mit einem Schachbrettmuster überzieht, so fehlen an den beiden Ecken entweder zwei weiße oder zwei schwarze Quadrate, das heißt, entweder bleiben 30 weiße und 32 schwarze Felder übrig oder umgekehrt. Da man aber mit jedem Dominostein immer genau ein weißes und genau ein schwarzes Feld abdeckt, bleiben für den letzten Dominostein entweder zwei schwarze oder zwei weiße Felder übrig, die nicht nebeneinander liegen können und daher auch nicht mit einem Stein abgedeckt werden können.

Teil 11

Auflösung
Es sind 23 Personen!
Bei den folgenden Berechnungen lassen wir den 29. Februar unberücksichtigt.
(Aber es gilt auch, wenn man ihn berücksichtigt.)
Bei zwei Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie an verschiedenen Tagen Geburtstag haben: 365/365 * 364/365 = 0,9973 = 99,73 %,
also die Wahrscheinlichkeit, dass zwei (die beiden) Personen am gleichen Tag Geburtstag haben: 1 - 365/365 * 364/365 = 1 - 0,9973 = 0,27 %.
drei Personen: verschiedene Geburtstage: 365/365 * 364/365 * 363/365 = 0,9918 = 99,18 %, zwei am gleichen Tag Geburtstag also: 1 - 0,9918 = 0,82 % u.s.w.
n Personen: verschiedene Geburtstage: (365 * 364 * ... * (365-n+1))/365^n = 365!/((365-n)! * 365^n), zwei am gleichen Tag: 1 - 365!/((365-n)! * 365^n)
für n=22 erhält man 47,57 %, für n=23 erhält man 50,73 %!

Teil 10

Auflösung
Es sind 45 Erdbeeren!
Fritz isst ein Drittel der Erdbeeren und Gabi von den restlichen zwei Dritteln 40 %, d.h. 2/3 * 40 % = 2/3 * 40/100 = 4/15,
also isst Fritz von den Erdbeeren 1/3 - 4/15 = 1/15 mehr als Gabi und dies entspricht drei Erdbeeren,
 also muss die Gesamtzahl der Erdbeeren die fünzehnfache Menge sein, also sind es 45 Erdbeeren!

Teil 9

Auflösung

Lösung: Elena reichen drei Versuche!
Im Folgenden steht E für eine beliebige bereits als echt erkannte Münze.

1. Wiegen: Münzen 1,2,3,4 versus Münzen 5,6,7,8

Fall A: Die Münzen sind gleich schwer, also sind die Münzen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 8 echt.

2. Wiegen: Münzen 9,10,11 versus Münzen E,E,E

Möglichkeit 1: Die Münzen sind gleich schwer, also auch 9, 10 und 11 sind echt und Münze 12 muss falsch sein.

3. Wiegen: Münze 12 versus Münze E

(--> Die Münzen sind gleich schwer, ist nicht möglich!)

--> Münze 12 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

--> Münze 12 ist schwerer, also ist sie die schwerere falsche Münze.

Möglichkeit 2: 9, 10, 11 sind leichter, also ist eine davon die leichtere falsche Münze und Münze 12 ist echt.

3. Wiegen: Münze 9 versus Münze 10

--> Die Münzen sind gleich schwer, also sind sie beide echt und Münze 11 ist die leichtere falsche Münze.

--> Münze 9 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

--> Münze 10 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

Möglichkeit 3: 9, 10, 11 sind schwerer, also ist eine davon die schwerere falsche Münze und Münze 12 ist echt.

3. Wiegen: Münze 9 versus Münze 10

--> Die Münzen sind gleich schwer, also sind sie beide echt und Münze 11 ist die schwerere falsche Münze.

--> Münze 9 ist schwerer, also ist sie die schwerere falsche Münze.

--> Münze 10 ist schwerer, also ist sie die schwerere falsche Münze.

Fall B: Die Münzen 1, 2, 3, 4 sind leichter, also sind die Münzen 9, 10, 11 und 12 echt und entweder eine der

Münzen 1, 2, 3 oder 4 die leichtere falsche oder eine der Münzen 5, 6, 7 oder 8 die schwerere falsche.

2. Wiegen: Münzen 1,2,5 versus Münzen 3,6,E

Möglichkeit 1: Die Münzen sind gleich schwer, also sind auch die Münzen 1, 2, 3, 5 und 6 echte Münzen und

entweder 4 die leichtere falsche Münze oder eine der beiden Münzen 7 und 8 die schwerere falsche Münze.

3. Wiegen: Münze 7 versus Münze 8

--> Die Münzen sind gleich schwer, also sind sie beide echt und Münze 4 ist die leichtere falsche Münze.

--> Münze 7 ist schwerer, also ist sie die schwerere falsche Münze.

--> Münze 8 ist schwerer, also ist sie die schwerere falsche Münze.

Möglichkeit 2: Die Münzen 1, 2 und 5 sind leichter, also sind die Münzen 4, 7 und 8 echte Münzen und

entweder 6 die schwerere falsche Münze oder eine der beiden Münzen 1 und 2 die leichtere falsche Münze.

3. Wiegen: Münze 1 versus Münze 2

--> Die Münzen sind gleich schwer, also sind sie beide echt und Münze 6 ist die schwerere falsche Münze.

--> Münze 1 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

--> Münze 2 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

Möglichkeit 3: Die Münzen 1, 2 und 5 sind schwerer, also sind die Münzen 4, 7 und 8 echte Münzen und

entweder ist die Münze 5 die schwerere falsche Münze oder Münze 3 die leichtere falsche Münze.

3. Wiegen: Münze 3 versus Münze E

--> Die Münzen sind gleich schwer, also ist Münze 3 echt und Münze 5 ist die schwerere falsche Münze.

--> Münze 3 ist leichter, also ist sie die leichtere falsche Münze.

(--> Münze 3 ist schwerer, ist unmöglich)

Fall C: Die Münzen 1,2,3,4 sind schwerer, also sind die Münzen 9, 10, 11 und 12 echt und entweder eine der Münzen 1, 2, 3 oder 4 die schwerere falsche oder eine der Münzen 5, 6, 7 oder 8 die leichtere falsche.
Dieser Fall ist spiegelverkehrt zu Fall B. (Man vertausche einfach die Nummern 1, 2, 3 und 4 mit 5, 6, 7 und 8.)

Somit erkennt Elena in jedem Fall nach dem dritten Wiegen welche Münze nicht echt ist und ebenfalls ob sie zu leicht oder zu schwer ist.

Teil 8

Auflösung

Für x, y und z kommen ja nur einstellige Primzahlen (2, 3, 5 und 7) infrage,
 also kommen als zweistellige Primzahlen xy und yz auch
 nur Kombinationen aus diesen vier Ziffern in Betracht: 23, 37, 53 und 73.

Somit kommen für xyz wiederum also nur die vier folgenden Kombinationen infrage:
237, 373, 537 und 737. Von diesen vier Zahlen ist aber lediglich 373 eine
Primzahl und somit die Lösung dieses Rätsels!

Teil 7

Auflösung

Ja, es ist möglich!

Teil 6

Auflösung

Ja, es ist möglich!

Teil 5

Auflösung

Ja, Donald passt problemlos unter dem Seil durch!
Rechnen wir mit dem Erdradius 6.371 km den Umfang aus, so ergibt sich eine Länge
 von 40.030,17359 km. Mit dem um einen Meter auf 40.030,17459 erhöhten
 Umfang ergibt sich der neue Radius 6.371,000159 km. Also schwebt das Seil 15,9 cm über
 dem Boden und das reicht locker für den dicken Donald aus!
Das interessante (und unerwartete) an der Aufgabe ist, dass dieser Abstand proportional
 zur Seilverlängerung ist und unabhängig vom Radius der Kugel!

Das bedeutet einerseits, dass bei einer Verlängerung des Seils um zwei Meter das Seil um
 31,8 cm über dem Boden schweben würde und andererseits, dass bei jeder Kugel (oder Kreis) ein Seil,
 das ein Meter länger als der Umfang der Kugel (des Kreises) ist,
 der Abstand zur Kugel (zum Kreis) immer 15,9 cm beträgt!

Teil 4

Auflösung

Clara zahlt weniger! Genauer gesagt, sie spart 0,25 % des ursprünglichen Verkaufspreises.

Der ursprüngliche Preis entspricht 100 % (z. B. € 2.000), nach der Erhöhung um
 fünf Prozent sind es also 105 % des ursprünglichen Preises (im Beispiel also € 2.100)

Hiervon werden nun wiederum fünf Prozent abgezogen 5 % von 105 % des ursprünglichen Preises sind
5,25 % des ursprünglichen Preises (im Beispiel also € 105). Zieht man nun diese
5,25 % von den 105 % ab so bleiben 99,75 % des ursprünglichen Preises übrig (im Beispiel € 1.995).

Also zahlt Clara letztlich 0,25 % des ursprünglichen Preises weniger (im Beispiel spart sie fünf Euro).

Teil 3

Auflösung
In jedem Fall (egal wie groß die Gläser und Löffel sind) ist es hinterher gleichviel,
denn die Menge rote Flüssigkeit, die im ersten Glas fehlt und sich im zweiten Glas befindet,
wird durch die gleiche Menge farbloser Flüssigkeit ersetzt, die jetzt wiederum im zweiten Glas fehlt.

Teil 2

Auflösung
x: Preis eines Weltmeister-Brötchens
y: Preis eines Sonnenblumenkern-Brötchens
Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems:
I: 7 x + 8 y = 11,15 |* 9
 II: 11 x + 9 y = 14,70 |* 8
I: 63 x + 72 y = 100,35
II: 88 x + 72 y = 117,60
II-I: 25 x = 17,25 | : 25
X = 0,69 d.h. ein Weltmeister-Brötchen kostet € 0,69
X in I: 7 * 0,69 + 8 y = 11,15
4,83 + 8 y = 11,15 | - 4,83
8 y = 6,32 | : 8
Y = 0,79 d.h. ein Sonnenblumenkern-Brötchen kostet € 0,79
10 * € 0,69 + 12 * € 0,79 = € 16,38
Anna muss kommenden Sonntag € 16,38 bezahlen!

Teil 1

Auflösung

Es gibt 2 Möglichkeiten:

A= 3, B=2, C=5, D=8, E=4, F=1, G=0 und H=6

oder

A= 8, B=2, C=4, D=3, E=5, F=1, G=9 und H=6

Einen klar strukturierten Ansatz gibt es nicht. Hier muss man logisch vorgehen.

Man sieht auf den ersten Blick, dass F=1 sein muss, da man zwei vierstellige Zahlen addiert und das Ergebnis fünfstellig ist.

H muss als Summe zwei gleicher Zahlen eine gerade Zahl sein.

C und E müssen zwei aufeinanderfolgende Zahlen sein. Und dann muss man ein wenig ausprobieren.